连续体结构拓扑优化方法及存在问题分析

 文章深入分析国内外连续体结构拓扑优化的研究现状，介绍了拓扑优化方法的发展及实现过程中存在的问题。对比分析了均匀化方法，渐进结构优化法，变密度法的优缺点。研究了连续体结构拓扑优化过程中产生数值不稳定现象的原因，重点讨论了灰度单元，棋盘格式，网格依赖性的数值不稳定现象，并针对每一种数值不稳定现象提出了相应的解决办法。

    结构拓扑优化设计的主要对象是连续体结构，1981年程耿东和Olhof在研究中指出：为了得到实心弹性薄板材料分布的全局最优解，必须扩大设计空间，得到由无限细肋增强的板设计。此研究被认为是近现代连续体结构拓扑优化的先驱。
    目前，国内外学者对结构拓扑优化问题进行了大量研究，这些研究大多数建立在有限元法结构分析的基础上，但由于有限元法中单元网格的存在，结构拓扑优化过程中常常出现如灰度单元，网格依赖性和棋盘格等数值不稳定的现象。本文介绍了几种连续体结构拓扑优化方法及每种方法存在的问题，并提出了相应的解决办法。
    1.拓扑优化方法
    连续体结构拓扑优化开始于1988年Bendoe和Kikuchi提出的均匀化方法，此后许多学者相继提出了渐进结构优化方法、变密度法等拓扑优化数学建模方法。
    1.1.均匀化方法
    均匀化方法即在设计区域内构造周期性分布的微结构，这些微结构是由同一种各向同性材料实体和孔洞复合而成。采用有限元方法进行分析，在每个单元内构造不同尺寸的微结构，微结构的尺寸和方向为拓扑优化设计变量。1988年Bendsoe研究发现，通过在结构中引入具有空洞微结构的材料模型，将困难的拓扑设计问题转换为相对简单的材料微结构尺寸优化问题。
    很多学者发展了均匀化方法，Suzhk进行了基于均匀化方法结构形状和拓扑优化协同设计。Hassani等全面系统的总结了基于均匀化理论的拓扑优化理论和算法。该方法的优点：数学理论严谨，在理解拓扑优化的理论框架方面有重要的意义。缺点：（1）均匀化弹性张量的求解操作繁琐，内部微结构的形状和方向难以确定。（2）计算结果容易产生棋盘格和多孔材料等数值不稳定性问题，可制造性差。
    1.2.渐进结构优化法
    渐进结构优化的设计理论与方法，是由谢亿民于1993年提出的，主要用于连续体结构拓扑优化设计问题。ESO方法通过逐渐将无效或低效的材料删除，实现连续体结构拓扑优化，避免了多变量数学规划求解问题。ESO方法中主要有三种方法删除无效或低效单元。
    近年来ESO由于突出的优点而得到迅速的发展，同时存在的问题也不容忽视。主要优点有：不仅可以解决各类结构的尺寸优化，还可以实现形状和拓扑优化；拓扑形式清晰，迭代过程在计算机上实现，可以对有限元分析结果进行后处理近似得到灵敏度值，且在优化过程中避免二次划分网格问题。缺点是：迭代次数较多，计算效率较低，且通用性、数值稳定性差。
    1.3.变密度法。
    密度法是人为假定单元的密度和材料物理属性之间的某种对应关系，以连续变量的密度函数形式表达这种对应关系。变密度法是基于各向同性材料，以每个单元的相对密度作为设计变量，将结构拓扑优化问题转化为材料最优分布设计问题，应用优化准则法或数学规化方法来求解材料最优分布设计。
    1999年Sigrnund等证实了该方法物理意义的存在性。变密度法主要优点有：设计变量少；程序实现简单；以结构重量为目标，不存在多目标问题。不足有：（1）优化过程中存在相对密度在[0，1]之间单元。对于中间密度的单元，是否删除就变得难以抉择；（2）以柔度最小为优化目标，在解决含有强度和刚度约束的优化问题时不够方便。